摘要：学习几何的过程中，我们经常会碰到这样的问题，如求通过定点的曲线方程、判断平面上三点是否共线、求平面上不共线的三点所围成的三角形面积以及判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系.这些问题均是解析几何中最常见的问题，像这些问题大多数学生都只会考虑运用解析几何课程中的本体性知识来解答，思维方式比较单一，不具有灵活性，殊不知，借助高等代数中行列式、矩阵和线性方程组解的理论等基础性知识，这些问题可以轻而易举并且以直观的方法被解决，高等代数知识的运用促使广大学者对几何问题的认识从原来的思维单一模式向思维多元化模式过渡，从而更好地理解“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这一句话，加深对代数与几何之间的融入和理解.
关键词：矩阵； 行列式； Cramer 法则； 线性方程组； 对称变换
应用高等代数方法解决几何问题的应用实例还有很多，如弯管的设计总的来说， 如果单单运用解析几何知识来解决几何问题，舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源，不仅运算过程中计算量比较大，且化简过程繁琐，不利于学者发挥主体性和创造性但是，有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程，而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性.
在当今日趋激烈的课程改革进程中，有的高校主张，将高等代数与解析几何两门课程进行整合，二课合一，课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间，欧式空间放在前几章，以使充分利用线性代数工具解决集合问题.学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时，感到深奥、难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，便于对代数知识的理解，而对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会迎刃而解了.
1 二阶行列式在解析几何中的应用
1.1 行列式的几何意义
一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子.
这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念.但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵，矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式.
1.1.1二阶行列式的几何意义
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则其成立的充要条件是:
X=0,y-1=0, 得定点(0,1)， 即为所求.
高等代数知识的运用促使广大学者对几何问题的认识从原来的思维单一模式向思维多元化模式过渡， 从而更好地理解“代数为几何提供研究方法， 几何为代数提供直观背景” 这一句话， 加深对代数与几何之间的融入和理解．初等几何研究的点、 线、 面、 常见图形等内容， 不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式．然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击．首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系．其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式．
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